คณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ธรรมชาติ

คณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ธรรมชาติ

            ธรรมชาติสร้างสรรสิ่งต่าง ๆ ได้ลงตัวอย่างพอเหมาะ ความสมดุลย์ทางธรรมชาติก่อให้เกิดสิ่งต่าง ๆ ทั้งสิ่งที่มีชีวิต และสิ่งที่ไม่มีชีวิต   หากเริ่มต้นจากชีวิตร่างกายของมนุษย์ ร่างกายของเราประกอบด้วยอวัยวะต่าง ๆ ที่ทำงานร่วมกัน มี ปอด หัวใจ ตับ ไต ลำไส้ เส้นเลือด ผิวหนัง กลไกการทำงานของร่างกายเป็นที่อัศจรรย์ใจยิ่งนัก
เมื่อพิจารณาจากการศึกษาให้ลึกซึ้งพบว่า ทุกอวัยวะของร่างกายประกอบด้วยเนื้อเยื้อ เนื้อเยื่อเหล่านี้เป็นส่วนประกอบรวมกันเป็นชิ้นอวัยวะ หากพิจารณาพินิจพิเคราะห์เนื้อเยื่อจะปรากฏหน่วยเล็ก ๆ ที่เรียกว่า เซล   เซลจึงเป็นส่วนประกอบของมนุษย์ที่เล็ก ๆ สิ่งมีชีวิตอื่นก็เช่นเดียวกันคือประกอบด้วยเซลและผลิตภัณฑ์ประกอบอยู่ในเซล

ภายในเซลประกอบด้วยโมเลกุลของสสาร โมเลกุลเหล่านี้จับตัวรวมกันเป็นกลุ่มก้อน และมีอะตอมของสารเป็นส่วนประกอบ ภายในอะตอมมีนิวเคลียส และรอบ ๆ นิวเคลียสมีอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบ ๆ ส่วนของนิวเคลียสประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอน; การศึกษาของเรากำลังศึกษาในรายละเอียดระดับโมเลกุลมากขึ้น เพื่อให้รู้ถึงความสลับซับซ้อนของร่างกายมนุษย์ที่มีอยู่ การศึกษาของมนุษย์จึงเรียนรู้ปรากฏการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ เพื่อเปิดเผยความเร้นลับ

ขณะเดียวกัน ชีวิตความเป็นอยู่ของผู้คนก็ต้องอาศัยสิ่งแวดล้อม อาศัยแสงแดด อากาศ น้ำ สิ่งที่ อยู่รอบ ๆตัว ที่เรียกว่า สิ่งแวดล้อม การศึกษาทางคณิตศาสตร์จึงเป็นรากฐานของชีวิตตั้งแต่ระดับอะตอมลงมา ถึงสิ่งแวดล้อมทางธรรมชาติต่าง ๆ มากมาย หากเริ่มจากชีวิตของมนุษย์ที่อาศัยอยู่บนพื้นดิน ความเกี่ยวข้องจึงเข้ามาสัมพันธ์กับดิน ฟ้า เวลา และดวงดาวต่างๆ สรรพสิ่งทุกสิ่งทุกอย่างเกี่ยวข้องกันเป็นธรรมชาติ

สิ่งมีชีวิตและสิ่งที่อยู่รอบ ๆ ตัวเรานี้อาศัยอยู่ในไบโอสเฟียส์ ซึ่งจัดได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของโลก โลกเป็นสมาชิกหนึ่งในระบบสุริยะจักรวาล ซึ่งประกอบด้วยดาวเคราะห์อีกหลายดวงซึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ การโคจรมีกฏเกณฑ์ และใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ และ อิทธิพลของดวงจันทร์ ดวงอาทิตย์และดวงดาวอื่นๆ

การศึกษายังบอกได้ว่าดวงอาทิตย์เปรียบเทียบเป็นฝุ่นเล็ก ๆ อยู่ในกลุ่มดาวขนาดมากมาย ที่เรียกว่า ทางช้างเผือก (milky way) ซึ่งกลุ่มดาวในระบบทางช้างเผือกนี้เรียกว่า กาแล็กซี่ และมีชื่อกาแลกซี่ที่ดวงอาทิตย์อยู่ด้วยว่า “กาแลกซี่ของเรา – our galaxy” กาแลกซี่ทางช้างเผือกก็เป็นหนึ่งในบรรดาที่มีกาแลกซี่อีกมากมาย และรวมเป็นกลุ่มขนาดใหญ่ที่เรียกว่า galactic cluster

การศึกษาของเราจึงต้องหาวิธีการอธิบายสิ่งต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นเองในธรรมชาติ ตั้งแต่เป็นสิ่งที่เล็กที่สุดในระดับอิเล็กตรอน หรือสิ่งที่ใหญ่ในระดับกาแลกซี่ การศึกษาของเราอาศัยกลไกการเรียนรู้ที่สมอง ซึ่งยากที่จะอธิบายได้ว่าโครงสร้างความรู้ที่เราศึกษาเป็นอย่างไร แต่การศึกษาเราใช้หลักการเชื่อมโยง เหมือนที่เราใช้ในเครือข่ายเวิล์ดไวด์ เวบนี้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ และความจริงทางธรรมชาติจึงมีมากมาย คณิตศาสตร์จึงเป็นหน่วยเสริมที่ใช้อธิบายชีวิตต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยสาขาต่าง ๆ มากมาย เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา ดาราศาสตร์ วิศวกรรม เทคโนโลยีต่าง ๆ หรือแม้แต่กลไกการทำงานของคอมพิวเตอร์ที่ใช้ระบบตัวเลขฐานสองก็ใช้หลัก การคิดคำนวณและตรรกศาสตร์พื้นฐาน

ฟิโบนักชีกับธรรมชาติ

 จากธรรมชาติที่สร้างตัวเองหรือขยายขนาด ขยายการเจริญเติบโตรวมถึงการแพร่พันธุ์ตามธรรมชาติด้วยตัวเลขฟิโบนักชี การเจริญเติบโตของต้นไม้ หรือของสิ่งต่าง ๆ หลายอย่างจึงเป็นไปตามธรรมชาติ

 นอกจากต้นไม้แล้ว ยังมีดอกไม้ ดังตัวอย่างเช่น การจัดวางเมล็ดของดอกทานตะวัน หรือดอกเดซี่ ซึ่งมีการจัดวางเมล็ดเป็นแบบวนก้นหอย นอกจากดอกทานตะวันแล้ว ก็ยังมีโคนของสน

 ตัวเลขอนุกรมฟิโบนักชีปรากฎให้เห็นอยู่มาก เช่น ตาสับปะรด และถ้ามองที่ดอกของใบไม้ของต้นไม้บางชนิดจะพบว่า มีการวน ซึ่งการวนมีลักษณะเป็นก้นหอย

อันดับฟิโบนักชีกับปรากฎการณ์ธรรมชาติ

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้หนึ่งชื่อ ลิโอนาร์โด พิซาโน ฟิโบนักชี (Leonardo Pisano Fibonacci) เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ได้วางกฎลำดับอนุกรมตัวเลขชุดหนึ่ง ซึ่งต่อมาได้รับชื่อว่า อนุกรมฟิโบนักชี

พิโบนักชี เกิดเมื่อประมาณปี คศ. 1170 ที่เมืองนิซา ประเทศอิตาลี เขาได้รับการศึกษาที่ทางตอนเหนือของแอฟริกา ซึ่งเป็นช่วงที่เขาติดตามบิดาซึ่งเป็นพ่อค้าเดินทางไปทำการค้า

ฟิโบนักชีสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เขาได้ทำการเขียนหนังสือและพิมพ์หนังสือคณิตศาสตร์ ซึ่งมีเรื่องราวเกี่ยวกับเรขาคณิต ซึ่งมีรากฐานมาจากยูคลิด
ในปี คศ. 1202 เขาได้สนใจปัญหาที่น่าสนใจ และศึกษาความเป็นไปทางธรรมชาติ โดยตั้งโจทย์ปัญหาที่สมมติว่า มีกระต่ายที่เกิดใหม่หนึ่งคู่ ตัวหนึ่งตัวผู้ อีกตัวหนึ่งตัวเมีย โดยนำมาเลี้ยงไว้ในสนามที่มีรั้วล้อมรอบ กระต่ายสามารถผสมพันธุ์และขยายพันธุ์หลังจากที่มีอายุได้หนึ่งเดือน เมื่อสิ้นเดือนที่สอง กระต่ายตัวเมียให้ลูกออกมาหนึ่งคู่

สมมุติว่ากระต่ายที่เลี้ยงไม่มีการตาย และกระต่ายตัวเมียจะให้ลูกหนึ่งคู่ทุก ๆ เดือน โดยที่ตัวหนึ่งเป็นตัวผู้อีกตัวหนึ่งเป็นตัวเมีย 
  คำถามมีอยู่ว่า จะมีกระต่ายอยู่เท่าไรเมื่อสิ้นปี

(1) เมื่อสิ้นเดือนที่ 1 ยังคงมีกระต่าย 1 คู่
(2) เมื่อสิ้นเดือนที่ 2 มีกระต่าย 2 คู่
(3) เมื่อสิ้นเดือนที่ 3 มีกระต่าย 3 คู่
(4) เมื่อสิ้นเดือนที่ 4 มีกระต่าย 5 คู่

ตัวเลขจำนวนคู่ของกระต่ายแต่ละเดือนเป็นดังนี้

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34

คราวนี้ลองดูว่าสิ้นปีจะมีจำนวนเท่าไร
อนุกรมตัวเลขนี้เรียกว่า อนุกรมฟิโบนักชี ซึ่งมาจากการสังเกตการเลี้ยงกระต่าย
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…….

การเลี้ยงกระต่ายดูจะขัดกับความรู้สึกและไม่สมจริง เพราะกระต่ายที่เกิดมาหนึ่งคู่ เป็นตัวผู้หนึ่งตัวและตัวเมียหนึ่งตัว และต้องขยายพันธุ์ต่อ ซึ่งในทางพันธุกรรมแล้วถือว่าไม่เป็นไปตามการข้ามสายพันธุ์

แต่อนุกรมฟิโบนักชีก็สามารถแสดงในโลกธรรมชาติที่ใกล้ความจริงได้หลายอย่าง เช่น การเลี้ยงวัว หรือ สายพันธุ์ของผึ้ง

อนุกรมฟิโบนักชี 

อนุกรมฟิโบนักชีเริ่มจากการนำตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าสองตัวหารกัน เป็นผลลัพธ์ของตัวเลข และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป

 0  1
0 + 1  =  1  เริ่มจากตัวเลข 0, 1
1 + 1  =  2  ค่าตัวเลขเกิดจากผลบวก
1 + 2  =  3
……………
เราจะได้ตัวเลขเป็น

n =  0  1  2  3  4  5  6
f(n) =  0  1  1  2  3  5  8 …………..
หรืออาจเขียนเป็นฟังก์ชัน f(n) ซึ่งมีค่าเป็นจำนวนคู่ของกระต่ายที่เดือนที่ n

โดยเราเริ่ม  f(1) = 1
ระหว่างเดือนที่ 2  f(2) = 1
และเราได้  f(n) = f(n-1) + f(n-2) กรณีที่ n > 2 

การเลี้ยงวัว 

ดูเดนี่ (Dudeney) ได้นำเสนอไว้ในหนังสือ 536 puzzles and Curious Problems ซึ่งจัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ Souvenir Press ในปี 1967

การนำเสนอคราวนี้แตกต่างกันตรงที่ โมเดลนี้ได้เปลี่ยนจากเดือนเป็นปี และการเลี้ยงวัวนี้เน้นที่แม่วัว โดยให้มีการผสมกับพ่อวัว โดยนับเฉพาะแม่วัว โดยให้แม่วัวออกลูกมาเป็นเพศเมียทุก ๆ ปี และวัวที่เลี้ยงไม่มีการตาย (สมมติให้ผสมเทียม) ถ้าผ่านไป 12 ปีแล้วจะมีวัวทั้งหมดกี่ตัว

การเลี้ยงวัวคราวนี้ดูจะไกล้กับฟาร์มโคนมที่เลี้ยงกันอยู่ จำนวนวัวที่มีอยู่จึงมีตามอนุกรมฟิโบนักชี เช่นกัน

อย่างไรก็ดี การพิจารณาให้เป็นธรรมชาติยังมีข้อท้วงติงอยู่บ้างว่า ถ้าวัวออกลูกมาเป็นตัวผู้ก็จะไม่ได้ตามอนุกรม

เพื่อให้เห็นเป็นธรรมชาติ และเป็นสถานะการณ์ของชีวิตจริง คงต้องดูจากวงจรชีวิตของผื้ง ซึ่งโมเดลผึ้งพอจะเรียกได้ว่าเป็นโมเดลสมจริง

ผึ้งกับตัวเลขฟีโบนักชี 

เพื่อให้เข้าใจธรรมชาติของผึ้ง จึงควรมาศึกษาชีวิตของผึ้งกันก่อน ผึ้งเป็นสัตว์สังคม อาศัยอยู่เป็นรัง และมีการดำรงชีวิตอย่างน่าศึกษา เพราะสังคมของผึ้งเป็นสังคมโดยธรรมชาติ

ภายในอาณาจักรผึ้ง คือ รังผึ้งหนึ่งรัง จะมีผึ้งเพศเมียตัวพิเศษหนึ่งตัว เรียกว่า นางพญา (Queen)

ในรังผึ้งมีประชากรผึ้งเป็นจำนวนมาก ทำหน้าที่เป็นผึ้งงาน (worker) ผึ้งงานก็มีเพศเมียเหมือนกับนางพญา แต่เป็นหมัน ไม่สามารถออกไข่หรือขยายพันธุ์ได้

ยังมีผึ้งเพศผู้ที่เรียกว่า โดรน (dron) ซึ่งอาจมีหลายตัว แต่เป็นผึ้งที่ไม่ทำงาน ผึ้งเพศผู้เป็นผึ้งที่มีลักษณะแปลก คือเป็นผึ้งที่นางพญาสร้างขึ้นจากไข่ที่ไม่สมบูรณ์ คือไม่มีการผสมแบบสมบูรณ์ ดังนั้ง ผึ้งโดรนจึงเป็นผึ้งที่มีแต่แม่ไม่มีพ่อ

ดังนั้น ผึ้งเพศเมียทุกตัวจึงเป็นผึ้งที่มีทั้งพ่อและแม่ และผึ้งเพศเมียจะเป็นผึ้งงาน และเป็นหมันไม่ขยายพันธุ์ต่อ แต่ถ้าเมื่อใดก็ตามที่ต้องการขยายพันธุ์แตกรังออก จะมีการสร้างผึ้งที่จะมาเป็นนางพญาเพื่อแยกรัง โดยการป้อนอาหารพิเศษที่เรียกว่า โรยัลเจลลี่ (royal jelly) เมื่อเติบโตพร้อมเป็นนางพญาก็จะแยกรังออกไป

คราวนี้ลองมาดูการลำดับเครือญาติ โดยเริ่มจากโดรนหนึ่งตัว   
1. เขามีพ่อ ซึ่งเป็นเพศเมีย
2. เขามีย่า กับยาย และตา (ไม่มีปู่) 
3. เมื่อลำดับต่อไป จะเขียนเป็นไดอะแกรม  นางพญามีทั้งพ่อและแม่  ผึ้งเพศผู้มีแต่แม่ 

การลำดับเครือญาติของผึ้ง โดยดูแยกเพศ ก็จะได้เป็นอนุกรมฟิโบนักชี เช่นกัน

ตัวเลขทองคำ (Golden Number) 

ตัวเลขลำดับฟิโบนักชี(สร้างโดยใช้รูปภาพสี่เหลี่ยมฟิโบนักชี) เป็นที่รู้จักกันดี และเป็นตัวเลขที่ธรรมชาติสร้างขึ้น ดังนั้น สัดส่วนตัวเลขระหว่างสองตัวเลขที่ติดกันจึงเป็นสัดส่วนทางธรรมชาติ และเราจะเห็นว่า สัดส่วนตัวเลขนี้มีความน่าสนใจไม่น้อย

ลำดับฟิโบนักชี 1 1 2 3 5 8 13 21

ถ้าจัดตัวเลขสองตัวชิดกันหารกัน จะได้อัตราส่วน           1/1  = 1         2/1  = 2
        3/2  = 1.5   5/3  = 1.666……
        8/5  = 1.6   13/8  = 1.625
        21/13  = 1.61538  …………… 

  และถ้าเราเขียนกราฟอัตราส่วนนี้ จะได้รูปกราฟที่เข้าใกล้ 1.6

ค่าตัวเลขที่ได้เมื่อให้จำนวนฟิโบนักชีมีค่ามากขึ้น ค่าจะได้ประมาณ 1.61804 เราเรียกตัวเลขนี้ว่า ตัวเลขทองคำ (Golden Number)

สี่เหลี่ยมฟิโบนักชีและก้นหอย 

การสร้างอนุกรมฟิโบนักชีโดยใช้รูปภาพสี่เหลี่ยมเพื่อแทนตัวเลข 1,1,2,3,5,8,13,21……. การสร้างเริ่มจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 หน่วย สองรูป หลังจากนั้น สร้างสี่เหลี่ยมโดยใช้ด้านของรูปสองรูปรวมกัน

รูปสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากด้านต่าง ๆ ประกอบกัน เราเรียกรูปนี้ว่าสี่เหลี่ยมฟิโบนักชี

เมื่อนำรูปสี่เหลี่ยมนี้มาสร้างเป็นส่วนโค้งวงกลมของรูปสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นรูปส่วนโค้งประมาณ 1/4 ของวงกลมต่อกัน จะได้รูปก้นหอยฟิโบนักชี (Fibonacci Spiral)

รูปเหลี่ยมที่สร้างขึ้นนี้จะมีสัดส่วนการขยายด้านประมาณ 1.618 เท่า ที่ขยายเพิ่มขึ้นจากเดิม

จำนวนเฉพาะ

 จากพจนานุกรม Webster ให้ความหมายของคำว่า Prime ไว้ดังนี้ 

 pprime \’prim\ n [ME, fr. MF, fem. of prin first, L primus; akin to L prior] 1 : first in time : ORIGINAL 2 a : having no factor except itself and one  is a ~ number> b : having no common factor except one <12 and 25 are relatively ~> 3 a : first in rank, authority or significance : PRINCIPAL b : having the highest quality or value <~ television time> [Webster’s New Collegiate Dictionary]

 ในที่นี้เน้นความหมายในเรื่องเลขจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีลักษณะสมบัติน่าสนใจ และสามารถนำมาประยุกต์ใช้งานได้มากมาย
* เลขจำนวนเฉพาะ คือเลขจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 โดยตัวเลขนี้ไม่มีตัวเลขใดมาหารได้ลงตัว นอกจากตัวมันเอง และ หนึ่ง

เลขจำนวนใด ๆ ที่เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็นผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะเสมอ

ตัวอย่าง


จะหาเลขจำนวนเฉพาะได้อย่างไร

 ลองนึกดูว่าถ้าเรามีเลขจำนวนหนึ่ง คือ n โดยที่ n>1 และหากว่าเลข n นี้ประกอบด้วย ผลคูณของเลขจำนวนเฉพาะ a และ b หรือ n = ab โดยที่ a>1 และ 1 สิ่งที่เกิดขึ้นคือ ไม่ a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่ง ต้องมีค่า <  ด้วยหลักการง่าย ๆ อย่างนี้เอง เราสามารถนำมาใช้ในการหาเลขจำนวนเฉพาะ ตามที่เราต้องการได้ 

 วิธีที่ 1 

   การหาเลขจำนวนเฉพาะโดยทดลองหารด้วยจำนวนคี่ จนถึงค่ารากที่สองของจำนวนที่ต้องการหา

การหาจำนวนเฉพาะทำได้ด้วยการนำตัวเลขมาหาร ซึ่งวิธีนี้เราจะเห็นได้ชัดว่า ตัวเลขคู่เป็นจำนวนเฉพาะมีเพียงตัวเดียว คือ 2
จำนวนเฉพาะที่เหนือจาก 2 เป็นต้นไปจะต้องเป็นเลขคี่
แต่เลขคี่ทุกตัวไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
วิธีการคือ ตัวเลขที่ต้องการดูว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ คือ n = 3, 5, 7, 9, 11, …..
ให้ทำการทดลองหารด้วยจำนวนคี่ ที่มีค่า <  และถ้าหารได้ไม่ลงตัวแสดงว่า n คือ จำนวนเฉพาะ 

ตัวอย่างโปรแกรม 

 วิธีที่ 2
   การหาเลขจำนวนเฉพาะโดยทดลองหารด้วยเลขจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าค่ารากที่สองของจำนวนที่ต้องการหา

วิธีนี้คล้ายกับวิธีแรก แทนที่จะใช้จำนวนคี่ไปหารเพื่อทดสอบ ให้ได้เลขจำนวนเฉพาะไปทดลองหารดู ดังนั้นวิธีนี้จะต้องรู้ค่าเลขจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า < แล้ว ซึ่งปกติการหาวิธีนี้จะไล่หาค่าจำนวนเฉพาะตัวก่อนหน้าไว้แล้ว โดยเก็บตัวเลขจำนวนเฉพาะที่หาได้ก่อนไว้ในที่เก็บ เช่น อะเรย์

คณิตศาสตร์กับดาราศาสตร์และโหราศาสตร์
            คำว่า “ดารา” คือเรื่องเกี่ยวกับดวงดาว ดาราศาสตร์ เป็นวิชาการที่ว่าด้วยเหตุอันเกิดจากดาว (Astrology ) ส่วนคำว่า “โหรา” เป็นคำสันสกฤต ตรงกับภาษาละตินว่า Hora ซึ่งมีความหมายถึง เวลา วิชาที่ว่าด้วยการคำนวณเวลา

            ความเชื่อในเรื่องโหราศาสตร์ หรืออิทธิพลของดวงดาวที่มีต่อมนุษย์โลกมีมานานแล้ว มีมาในทุกชาติทุกภาษา เราจะเห็นได้ชัดว่าสมัยพุทธกาลก็มีการกล่าวถึง วันประสูติ ตรัสรู้ ปรินิพพาน ซึ่งเกี่ยวข้องกับดวงดาว หรือแม้แต่วันมาฆะบูชา ก็เป็นวันที่เกี่ยวข้องกับดวงดาวทั้งสิ้น

            ในประเทศจีนมีการใช้ปฏิทินมานานกว่าสามพันปี มีการคำนวณแนวทางเดินของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ ทำให้ทราบวันที่จะเกิดสุริยุปราคา หรือจันทรุปราคาได้ก่อน และถูกต้องแม่นยำ และที่สำคัญคือทุกประเทศ ทุกชาติ มีตำนานเกี่ยวกับจักรราศี และใช้จักรราศีเหมือนกัน

            ด้วยการสังเกตและเฝ้าติดตามดวงดาว โดยเฉพาะดาวเคราะห์ ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์  โดยผู้สังเกตอยู่บนโลกทำให้มีการพัฒนาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ให้ก้าวหน้าได้มาก สามารถคิดหลักการทางด้านตรีโกณมิติ  โดยดูจากทรงกลมฟากฟ้า ใช้ในเรื่องการคำนวณหาค่าตัวเลขธรรมชาติหลาย ๆ ตัวเช่น พาย () ค่าซายน์ (sin) คอส (cos) แทน (tan) เป็นต้น

            ตำแหน่งของดาวเคราะห์และดวงดาวทั้งหลายรวมทั้งดวงอาทิตย์ และดวงจันทร์ ปรากฏอยู่ในแผนที่ดาวที่นักโหราศาสตร์คิดคำนวณจากปฏิทินโหราศาสตร์ และนำมาใส่ไว้

 เช่น  สุริยคติกาล วันที่ 16 เมษายน 2531  วันเสาร์ขึ้น 1 ค่ำ เดือน 6 ปีมะโรง จ.ศ. 1350

            หากเขียนแผนที่ดาวในรูปแบบดาวที่ใช้ในทางโหราศาสตร์จะได้รูปวงกลมที่แบ่งออกเป็นส่วนรอบ ๆ 12 ส่วน  และมีสี่เหลี่ยมกลาง

            ตำแหน่งดาวต่าง ๆ ปรากฏอยู่บนแผนภาพ โดยถือว่าโลกเป็นจุดศูนย์กลาง หรือที่เรียกว่า Geocentric Measuement

            ตำแหน่งของดาวจะโคจรเสมือนโคจรรอบโลก ทั้งนี้เพราะจุดสังเกตคือเราอยู่บนพื้นโลก ซึ่งคิดว่าคงที่ โดยดูการเคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ ซึ่งเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาวจักรราศี

การสังเกตที่โลกเป็นจุดศูนย์กลาง

ในระบบสุริยะจักรวาล มีดาวเคราะห์ที่เห็นด้วยตาเปล่าชัดเจนห้าดวง  ดังนั้นมนุษย์ตั้งแต่สมัยโบราณได้เฝ้าสังเกตการเปลี่ยนแปลงของดาวเคราะห์ ซึ่งจะเห็นว่าทุกขณะที่สังเกต จะเห็นดาวเคราะห์อยู่ในกลุ่มดาวจักรราศี และเคลื่อนที่เปลี่ยนแปลงตำแหน่งไปตามแนวของจักรราศี ส่วนใหญ่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าคือ จากราศีเมษ ก็ไป พฤษภ ไปราศี มิถุน… แต่บางขณะเวลาดาวเคราะห์ก็เคลื่อนที่ถอยหลัง การเคลื่อนที่ถอยหลังนี้เกิดจากจุดสังเกตบนโลกที่มองไป ขณะที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์บางขณะ ทำให้มุมมองของโลกที่มองไปมีลักษณะสัมพัทธ์ที่ทำให้ดาวเคราะห์เคลื่อนถอยหลัง

            จากรูปภาพของระบบสุริยะจักรวาลที่แสดงทำให้เห็นว่าโลกมองเห็นดาวอังคารอยู่ในราศีมีน เห็นดาวศุกร์อยู่ในราศีพฤษภ เห็นดาวอาทิตย์อยู่ในราศีกรกฎ เห็นดาวพุธอยู่ในราศีสิงห์ เห็นดาวพฤหัสอยู่ในราศีกันย์ และดาวเสาร์อยู่ในราศีพิจิก และถ้าดูดวงจันทร์ด้วยก็ขึ้นอยู่กับวันข้างแรมขณะนั้น

            การสังเกตในลักษณะที่โลกเป็นจุดศูนย์กลางจึงเป็นลักษณะที่คนโบราณเชื่อว่า รังสีของดาวเคราะห์ที่แผ่ตรงมายังโลกจะมีอิทธิพลต่อชีวิตความเป็นอยู่

            ดังนั้นแผนภาพทางโหราศาสตร์ในเรื่องดาว จึงเป็นแผนภาพดาวเคราะห์บนฝากฟ้าที่สังเกตเห็นได้จากพื้นโลก ทำให้เราสามารถเห็นการโคจรของดาว บนแผนภาพนี้ และสามารถดูตำแหน่งของดาวเคราะห์บนฟากฟ้าจริงได้

การดูดาวเคราะห์จากแผนที่ดาว

            ลักษณะของแผนที่ดาวก็คือทรงกลมท้องฟ้าที่แบ่งท้องฟ้าเป็น 12 ส่วน ตามจักรราศี การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ต่าง ๆ ที่คำนวณได้จะเคลื่อนที่ในตำแหน่งบนท้องฟ้าโดยดูจาดจุดสังเกตบนโลก

            ทิศทางการโคจรของดาวเคราะห์จะเดินหน้าไปตามทิศทวนเข็มนาฬิกา  ดาวบางดวงจะโคจรได้เร็ว (เช่น ดวงจันทร์) บางดวงจะโคจรได้ช้า เช่นดาวพฤหัสจะเคลื่อนที่ได้ประมาณ 1 ราศีต่อปี สำหรับดวงอาทิตย์จะเคลื่อนที่ เดือนละ 1 ช่อง หรือในปีหนึ่งก็ครบหนึ่งรอบ ตำแหน่งของดวงอาทิตย์จะอยู่ในราศีตามเดือน

            ตัวอย่างเช่น วันศุกร์ที่ 26 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2542 ขึ้น 12 ค่ำ เดือน 4 ปีเถาะ

            วันที่ 26 กุมภาพันธ์ ดวงอาทิตย์ (1) ยังคงอยู่ราศีกุมภ์ ดวงจันทร์ขึ้น 12 ค่ำ หากพิจารณาดูว่า ถ้าขึ้น 15 ค่ำ หมายถึงอยู่ทำมุมกับดวงอาทิตย์ 180 องศา ดังนั้นขึ้น 12 ค่ำ จึงทำมุมประมาณ 144 องศา หนึ่งช่องประมาณ 30 องศา ดังนั้นพระจันทร์ (2) จึงอยู่แถวช่วงราศีกรกฎ

            ในภาพแผนที่ดาวนี้จะเห็นดาวพุธ (4) อยู่คู่ดวงอาทิตย์ ในราศีกุมภ์ ส่วนดาวศุกร์ (6) และดาวพฤหัส (5) ทำมุมประมาณ 30 องศา  ดังนั้นขณะพระอาทิตย์ตกดิน จะเห็นดาวพฤหัสและดาวศุกร์อยู่ใกล้กัน ในมุมประมาณ 30-40 องศา ส่วนดาวเสาร์ (7) อยู่ราศีเมษ หรือในตอนพระอาทิตย์ลับขอบฟ้าจะเห็นดาวเสาร์ทำมุมบนท้องฟ้าทางทิศตะวันตกประมาณ 60 องศา  ดาวที่เห็นด้วยตาเปล่าอีกดวงคือดาวอังคาร (3) อยู่ราศีตุลจะขึ้นทางขอบฟ้าทิศตะวันออกตอนหลังจากพระอาทิตย์ตกดับแล้วประมาณ 4 ชั่วโมง หรือประมาณ 22:00 โดยประมาณ การคิดคำนวณวิถีการโคจรจริงจะทำให้ทราบเวลาที่แท้จริงได้

คณิตศาสตร์กับเวลา

             หลายคนคงนั่งคิดจินตนาการว่า กาลเวลาคืออะไร ทำไมเราจึงแบ่งช่วงเวลาของเราออกเป็นวินาที นาที  ชั่วโมง วัน เดือน ปี ระบบแห่งกาลเวลาที่ใช้กันในอดีตแต่ละท้องที่แตกต่างกัน ต่อมาปรับเปลี่ยนเข้าสู่ระบบสากลเพื่อความเข้าใจที่ตรงกัน เช่นปีใหม่ของไทยแต่โบราณใช้วันสงกรานต์ เป็นการบ่งบอกวันเริ่มต้นปีใหม่ ของจีนใช้วันตรุษจีน ปีใหม่สากลใช้วันที่ 1 มกราคม เป็นต้น

             ความจริงแล้วกาลเวลาเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยตรง จากที่กล่าวแล้วที่ชาวบาบิโลเนียได้แบ่งหน่วยตัวเลขในระบบฐานหกสิบ  และรู้จักกับการแบ่งเวลาในฐานหกสิบมากกว่าสองพันปีแล้ว เราแบ่งเวลาเป็นวินาที หกสิบวินาทีเป็นหนึ่งนาที หกสิบนาทีเป็นหนึ่งชั่วโมง และให้ยี่สิบสี่ชั่วโมงเป็นหนึ่งวัน

            มนุษย์เกี่ยวข้องกับเวลามาตั้งแต่พัฒนาการเริ่มแรกของชีวิตโลก  เป็นส่วนหนึ่งของระบบสุริยะจักรวาล มีพัฒนาการมาหลายพันล้านปี กาลเวลาจึงสัมพันธ์กับชีวิตความเป็นอยู่ กาลเวลาสัมพันธ์กับธรรมชาติ มนุษย์สังเกตเห็นพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกในตอนเช้า และตกทางทิศตะวันตกในตอนเย็น เห็นดวงจันทร์ขึ้นและตกเช่นเดียวกัน แต่ปรากฏการณ์ของดวงจันทร์แตกต่างจากดวงอาทิตย์ คือ แต่ละวันขึ้นและตก แตกต่างเวลาออกไปเมื่อเทียบกับดาวอาทิตย์ และยังมีปรากฏการณ์แบ่งเป็นข้างขึ้นและข้างแรมดังที่เราเห็นอยู่ ชีวิตความเป็นอยู่จึงสัมพันธ์กับธรรมชาติ บนท้องฟ้าในเวลากลางคืนมีดาวเต็มท้องฟ้า ดาวที่เห็นมีทั้งดาวเคราะห์และดาวฤกษ์ มนุษย์รู้จักแยกแยะดาวเคราะห์และดาวกฤษ์ โดยเห็นดาวเคราะห์ที่ปรากฎเด่นชัดตั้งแต่หลายพันปีแล้ว ซึ่งได้แก่ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัส ดาวเสาร์ และเมื่อรวมกับดวงอาทิตย์ และดวงจันทร์ จึงแบ่งสัปดาห์เป็นเจ็ดวัน และใช้ชื่อดาวที่รู้จักเป็นวันประจำสัปดาห์

กาลเวลาสัมพันธ์กับธรรมชาติ

            คณิตศาสตร์ของกาลเวลาอาศัยปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ เป็นมาตรฐานของหน่วยนับที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวัน  วิถีชีวิตในแต่ละวันเริ่มจากเช้า สาย บ่าย ค่ำ ตกกลางคืนและวนเวียนกลับมาใหม่

            มาตรฐานของวัน หากจะบอกว่าระยะเวลาหนึ่งวันยาวนานเท่าไร  เราจะพบว่าธรรมชาติได้สร้างให้มีกลางวัน กลางคืน ถ้าเรานับช่วงเวลาที่พระอาทิตย์เพิ่งเริ่มขึ้นจากขอบฟ้า จนพระอาทิตย์ตก และเริ่มกลับมาขึ้นใหม่เป็นหนึ่งวัน เราจะพบว่า เวลาแต่ละวันจะไม่เท่ากัน และช่วงเวลาพระอาทิตย์ขึ้นในแต่ละท้องที่ก็ไม่เท่ากัน แต่เรารู้ว่าโลกหมุนรอบตัวเอง 1 รอบ เป็นเวลาหนึ่งวัน

            ดังนั้นเราจึงเอาระยะเวลาที่โลกหมุนรอบตัวเองหนึ่งรอบเป็นระยะเวลาหนึ่งวัน ซึ่งจะได้เป็นมาตรฐานกลาง ระบบเวลาแบ่งย่อยให้เป็น 24 ส่วนและเรียกว่า 1 ชั่วโมง

            ความจริงแล้วโลกหมุนรอบตัวเองหนึ่งรอบใช้เวลาไม่ถึง 24 ชั่วโมง แต่ใช้เวลาประมาณ 23 ชั่วโมง 56 นาที 4 วินาที ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

            การแบ่งหน่วยเวลาในระบบสุริยคติ ใช้หลักการที่ให้โลกหมุนรอบตัวเองและสัมพัทธ์กับการเคลื่อนที่ของโลกหมุมรอบดวงอาทิตย์ด้วย  ซึ่งโลกหมุนรอบดวงอาทิตย์หนึ่งรอบเรียกว่า หนึ่งปี

            โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ระยะเวลาหนึ่งวันเดินทางได้ประมาณ 1 องศา และถ้าเราสังเกตดวงอาทิตย์เคลื่อนที่บนฟากฟ้า 1 องศา จะใช้เวลาประมาณ 4 นาที  ดังนั้นเพื่อให้เกิดความสัมพัทธ์เชื่อมโยงกับการมองเห็นครบหนึ่งรอบพอดี จึงใช้ 1 วัน มี 24 ชั่วโมง

            จากมาตรฐานที่ชาวบาบิโลเนียใช้แบ่งให้วันหนึ่งมี 24 ชั่วโมง และหนึ่งชั่วโมงมีหกสิบนาที และแต่ละนาทีแบ่งออกเป็นหกสิบวินาที  ความเกี่ยวโยงในเรื่องเวลากับธรรมชาติ โดยเฉพาะการอ้างอิงกับดวงอาทิตย์ โดยผู้สังเกตอยู่บนพื้นโลก หรือกล่าวได้ว่า ระยะเวลาของรอบวันได้กำหนดไว้ตามการเคลื่อนที่ของโลกที่หมุนรอบตัวเอง และโคจรรอบดวงอาทิตย์

12 ราศี

	ราศีมังกร (CAPRICORNUS)	22 ธค – 19 มค			ราศีกุมภ์ (AQUARIUS)	20 มค – 18 กพ
	ราศีมีน (PISCES )	19 กพ – 20 มีค			ราศีเมษ (ARIES )	21 มีค – 19 เมย
	ราศีพฤษภ (TAURUS)	20 เมย – 20 พค			ราศีมิถุน (GEMINI)	21 พค – 21 มิย
	ราศีกรกฎ (CANCER)	22 มิย – 22 กค			ราศีสิงห์ (LEO)	23 กค – 22 สค
	ราศีกันย์ (VIRGO)	23 สค – 22 กย			ราศีตุล (LIBRA)	23 กย – 22 ตค
	ราศีพิจิก (SCORPIO)	23 ตค – 22 พย			ราศีธนู (SAGITARIUS)	23 พย – 21 ธค

ปฏิทินสากล

            ปฏิทินสากลยึดหลักการตามหลักของระบบสุริยะเพื่อให้ฤดูกาลคงที่  การสร้างปฏิทินสากลที่เป็นมาตรฐานนี้ใช้หลักการของปฏิทินที่เรียกว่ากรีกอเรียน (Gregorian)  และนำมาใช้กันในการนับวันสำคัญทางศาสนาคริสต์

            หลักการของปฏิทินสากลได้กำหนดให้หนึ่งปีมี 12 เดือน และมีจำนวนวันเท่ากับ 365 วัน ยกเว้นบางปีเป็นปีอธิกสุรทิน (leap year)  จึงให้ปีนั้นมี 366 วัน โดยเพิ่มวันที่ 29 กุมภาพันธ์อีกหนึ่งวัน

            การแบ่งเดือนตามหลักการของปฏิทินกรีกอเรียนและกำหนดให้วันที่ 1 มกราคมเป็นวันขึ้นปีใหม่

ปีอธิกสุรทิน

            การแบ่งปีตามหลักปฏิทินสากลแบ่งได้เป็นปีปกติมี 365 วัน และปีอธิกสุรทินมี 366 วัน โดยเพิ่มวันที่ 29 กุมภาพันธ์  ขึ้นมาอีกหนึ่งวัน

            การให้มีปีอธิกสุรทิน  เพราะโลกหมุนรอบดวงอาทิตย์หนึ่งรอบใช้เวลา 365.24218…ดังนั้นจึงต้องมีการปรับให้จำนวนวันต่อปีไม่คลาดเคลื่อนกับวิถีการโคจร

            เพื่อให้หลักการของปีอธิกสุรทินมีความชัดเจน จึงกำหนดเป็นสูตรไว้ดังนี้

 1.  ให้เดือนกุมภาพันธ์มี 29 วัน ทุก ๆ 4 ปี โดยนำเอาปี คศ. หารด้วย 4 ลงตัวถือว่าเป็นปีอธิกสุรทิน

  2.  ให้ปรับโดยถ้าปีหารด้วย 100 ลงตัวให้เป็นปีปกติ

  3.  ถ้าปีหารด้วย 400 ลงตัว ให้ปรับไปเป็นปีอธิกสุรทินอีก


            จากกฎเกณฑ์นี้ ปี คศ. 2000 เป็นปีอธิกสุรทิน มี 366 วัน ปี คศ. 1900 และ 2100 เป็นปีปกติที่มี 365 วัน

            หลักการของปฏิทินกรีกอเรียนทุก ๆ 400 ปี จะมีการปรับตามเงื่อนไขดังกล่าวแล้ว ในรอบ 400 ปี จะมีจำนวนวันทั้งสิ้น 146,097 วัน ตัวเลข 146097 หารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้นปฏิทินระบบนี้จึงลงตัวที่ 400 ปี พอดี และจะซ้ำเดิมอีกครั้งและหากนำ 146097 หาร 400 จะได้ 365.2425 หรือกล่าวได้ว่าความยาวเฉลี่ยของปีหนึ่งมีค่าเท่ากับ 365.2425 แต่หากนำมาเปรียบเทียบกับเวลาการโคจรจริงของโลกพบว่าตามหลักการนี้จะทำให้มีข้อผิดพลาดไปหนึ่งวันในช่วงเวลาประมาณ 2500 ปี นั่นหมายถึง ก่อนรอบ 2500 ปี จะต้องมีการปรับวันที่กันอีกหนึ่งครั้ง ซึ่งหลายต่อหลายคนได้นำเสนอให้ปรับให้ปีที่หารด้วย 1600 ลงตัว ให้มี 365 วันอีกครั้ง

ธรรมชาติกับเวลาและการคำนวณ เมื่อหยิบนาฬิกามาดูแล้ว เราจะรู้เวลาได้ทันที ยิ่งในปัจจุบันมีวงจรอิเล็กทรอนิกส์ดำเนินการแสดงผลเวลาอย่างอัตโนมัติ เช่นเห็นเวลาบนหน้าปัทม์แสดงเป็นเวลาขณะนั้น หลายคนอาจจะขบคิดว่าการคิดเวลามีหลักการอย่างไร ทำไมประเทศไทยทุกจังหวัดจึงใช้เวลาเดียวกัน ทั้ง ๆ ที่อยู่ในตำแหน่งแตกต่างกัน ย่อมจะมองเห็นดวงอาทิตย์ขึ้นและตกแตกต่างกัน กรมอุตุนิยมวิทยาแจ้งเวลาพระอาทิตย์ขึ้นและตกยังต้องอ้างอิงตำแหน่ง เช่น พระอาทิตย์ตกดินที่แหลมพรหมเทพ จังหวัดภูเก็ต เวลา 18:05 การคำนวณเวลาหรือการคิดเวลามีลักษณะที่มาและสามารถคำนวณเวลาได้อย่างไร จากหลักการพื้นฐานทราบว่าโลกหมุมรอบตัวเอง โดยหมุนตามแกนของขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ ตามความเป็นจริงแล้ว แนวแกนหมุนของโลกชี้ไปในตำแหน่งดาวเหนือ เราอาจจินตนาการทรงกลมท้องฟ้าที่มีดวงดาวเป็นทรงกลมนอก และโลกเป็นลูกทรงกลมใน แกนหมุนของโลกชี้ที่ตำแหน่งดาวเหนือ เส้นแบ่งกึ่งกลางของทรงกลมด้านเหนือและใต้เรียกว่า เส้นศูนย์สูตรโลก (Celestial Equator) การทำความเข้าใจในเรื่องธรรมชาติ และทรงกลมท้องฟ้าจำเป็นต้องสร้างจินตนาการแบบสามมิติ เพื่อให้มองเห็นหรือสร้างความเข้าใจได้โดยง่าย การมองท้องฟ้าทำให้เห็นดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ จักรราศีทั้ง 12 ราศี ล้วนแล้วแต่เป็นการสังเกตบนโลก คนโบราณให้ความสำคัญในการคำนวณด้วยมาตรการที่ถือว่าโลกเป็นจุลศูนย์กลาง วิธีการนี้เรียกว่า Geocentric Measurement แต่ในทางดาราศาสตร์ ให้ดวงอาทิตย์และดวงดาวฤกษ์อยู่กับที่ และให้โลกกับดาวเคราะห์เคลื่อนที่ การคำนวณโดยให้ดวงอาทิตย์อยู่กับที่เรียกว่าการใช้ดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง หรือเรียกเป็นคำศัพท์ว่า Heleiocentric Measurement ภาษากรีกใช้คำว่า Geo แปลว่าโลก Heleios แปลว่าดวงอาทิตย์

ธรรมชาติกับเวลาและการคำนวณ

            เมื่อหยิบนาฬิกามาดูแล้ว เราจะรู้เวลาได้ทันที ยิ่งในปัจจุบันมีวงจรอิเล็กทรอนิกส์ดำเนินการแสดงผลเวลาอย่างอัตโนมัติ เช่นเห็นเวลาบนหน้าปัทม์แสดงเป็นเวลาขณะนั้น

            หลายคนอาจจะขบคิดว่าการคิดเวลามีหลักการอย่างไร ทำไมประเทศไทยทุกจังหวัดจึงใช้เวลาเดียวกัน ทั้ง ๆ ที่อยู่ในตำแหน่งแตกต่างกัน ย่อมจะมองเห็นดวงอาทิตย์ขึ้นและตกแตกต่างกัน กรมอุตุนิยมวิทยาแจ้งเวลาพระอาทิตย์ขึ้นและตกยังต้องอ้างอิงตำแหน่ง เช่น พระอาทิตย์ตกดินที่แหลมพรหมเทพ จังหวัดภูเก็ต เวลา 18:05 การคำนวณเวลาหรือการคิดเวลามีลักษณะที่มาและสามารถคำนวณเวลาได้อย่างไร
            จากหลักการพื้นฐานทราบว่าโลกหมุมรอบตัวเอง โดยหมุนตามแกนของขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ ตามความเป็นจริงแล้ว แนวแกนหมุนของโลกชี้ไปในตำแหน่งดาวเหนือ เราอาจจินตนาการทรงกลมท้องฟ้าที่มีดวงดาวเป็นทรงกลมนอก และโลกเป็นลูกทรงกลมใน แกนหมุนของโลกชี้ที่ตำแหน่งดาวเหนือ เส้นแบ่งกึ่งกลางของทรงกลมด้านเหนือและใต้เรียกว่า เส้นศูนย์สูตรโลก (Celestial Equator)

            การทำความเข้าใจในเรื่องธรรมชาติ และทรงกลมท้องฟ้าจำเป็นต้องสร้างจินตนาการแบบสามมิติ เพื่อให้มองเห็นหรือสร้างความเข้าใจได้โดยง่าย

             การมองท้องฟ้าทำให้เห็นดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ จักรราศีทั้ง 12 ราศี ล้วนแล้วแต่เป็นการสังเกตบนโลก คนโบราณให้ความสำคัญในการคำนวณด้วยมาตรการที่ถือว่าโลกเป็นจุลศูนย์กลาง วิธีการนี้เรียกว่า Geocentric Measurement  แต่ในทางดาราศาสตร์ ให้ดวงอาทิตย์และดวงดาวฤกษ์อยู่กับที่ และให้โลกกับดาวเคราะห์เคลื่อนที่  การคำนวณโดยให้ดวงอาทิตย์อยู่กับที่เรียกว่าการใช้ดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง หรือเรียกเป็นคำศัพท์ว่า Heleiocentric Measurement ภาษากรีกใช้คำว่า Geo แปลว่าโลก Heleios แปลว่าดวงอาทิตย์

กลางของโลก และจินตนาการแบบสามมิติ

          จากที่ทราบกันดีว่าโลกหมุมรอบดวงอาทิตย์ โดยแกนหมุนรอบตัวเองของโลกเอียง 23 องศา  ดังนั้น เส้นทางที่ผู้สังเกตอยู่บนโลกมองดวงอาทิตย์จึงเห็นเสมืองดวงอาทิตย์เคลื่อนที่ผ่านทรงกลมท้องฟ้า  แนวเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์เคลื่อนผ่านทรงกลมท้องฟ้าเรียกว่าสุริยะวิถี (Ecliptic) ซึ่งเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาว 12 กลุ่ม (จักรราศี) สิ่งที่น่าสังเกตคือ ทุกประเทศรู้จักกับจักรราศี (Zocliac) และมีการเรียกชื่อกลุ่มดาวจักรราศรีที่คล้ายคลึงกันมาตั้งแต่โบราณ

            เนื่องจากแกนหมุนของโลกเอียงทำมุม 23 องศา กับแนวแกนการหมุนรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้นแนวเส้นศูนย์สูตรโลกบนทรงกลมท้องฟ้าจึงตัดกับแนวเส้นสุริยวิถีสองจุด จุดตัดนี้เรียกว่าอิควิน็อก (Equinox) เป็นจุดตัดที่ทำให้กลางวันและกลางคืนเท่ากันจุดตัดอิควิน็อกแรกเกิดขึ้นราววันที่ 21 มีนาคม ซึ่งถือว่าเป็นวันที่กลางวันและกลางคืนยาวเท่ากัน  โดยจะต้องคิดที่แนวศูนย์สูตร์โลก จุดตัดอีกจุดหนึ่งคือราววันที่ 23 กันยายน

            สำหรับประเทศไทยหากคิดที่กรุงเทพซึ่งอยู่ที่เส้นรุ้งประมาณ 10 องศา แนวแกนของประเทศไทยตัดเส้นสุริยะวิถีประมาณวันที่ 13 เมษายน ซึ่งเราถือว่าเป็นวันสงกรานต์ หรือเป็นวันขึ้นปีใหม่ของไทย

            สังเกตว่าโลกหมุนในแนวทิศตามกฎมือขวา ขณะเดียวกับดาวอาทิตย์เคลื่อนที่ตามทรงกลมท้องฟ้าในทิศทางเดียวกันด้วย

            หลายคนที่มีโอกาสเดินทางไปต่างประเทศ เช่น อเมริกา อังกฤษ หรือประเทศในแถบเอเชียอย่างญี่ปุ่น ต่างก็ต้องปรับเวลาให้ตรงกับประเทศนั้น ๆ นั้นเป็นเพราะ ทุกขณะ เวลาบนพื้นโลกไม่เท่ากั

ทุกขณะเวลาบนพื้นโลกไม่เท่ากัน
            โลกมีสัญฐานกลม การเห็นดวงอาทิตย์ในตำแหน่งบนพื้นโลกต่าง ๆ กันจึงต่างกัน แต่ระบบเวลาเราใช้ระบบสัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ดังนั้นจึงแบ่งสัดส่วนบนพื้นโลกเป็นเส้นรุ้ง (Latitude) และ เส้นแวง (longtitude)

            ในทรงกลมท้องฟ้า ถ้าขยายเส้นแนวตั้งออกมา แต่มองการแบ่งใหม่โดยแบ่งเป็น 24 ส่วน เพื่อให้ครอบคลุม 24 ชั่วโมง  ดังนั้น 1 ชั่วโมงจึงเท่ากับ 15 องศา

            เส้นที่แบ่งเป็นวงกลมนี้ เรียกว่า วงกลมเวลา (hour circle)  โดยเส้นที่ผ่านจุดอิควิน็อกให้เป็นเส้น 0h (0 ชั่วโมง) และวนไปทางทิศตะวันออก 1h  2h ไล่ไปเรื่อย ๆ จนถึง 23h

            ดังนั้น ณ ขณะหนึ่งขณะใด  ถ้าอยู่ต่างที่กันบนพื้นโลกจะได้เวลาที่แตกต่างกันตามตำแหน่งที่อยู่

เวลากับจุดสังเกตบนพื้นโลก
            หากเรายืนอยู่ที่หนึ่งที่ใดบนพื้นโลก เช่นกรุงเทพมหานครที่เส้นละติจูดประมาณ 12 องศา เราจะเห็นดาวเหนือทางทิศเหนือสูงประมาณ 12 องศา แกนการหมุนของโลกหมุนตามแนวทิศดาวเหนือ หากเรายืนตัวตรง  จุดกลางศรีษะเราชี้ขึ้นกลางฟ้าตั้งฉากกับพื้นดินเราเรียกว่าจุดจอมฟ้า (Zenith) ถ้าเราอยู่ที่โล้งแจ้งมองไปรอบ ๆ ตัวจะเห็นเส้นขอบฟ้าที่เป็นจุดตัดระหว่างพื้นกับท้องฟ้ารอบตัวเรา  และถ้าจินตนาการในรูปแบบสามมิติเราจะเห็นว่า แนวหมุนของโลกทำให้มีเส้นศูนย์สูตร์โลก  การสังเกตดาวบนท้องฟ้าจึงมีการเห็นที่แตกต่างกันเมื่ออยู่บนพื้นโลกที่ตำแหน่งต่างกัน

            สิ่งที่น่าสนใจและเป็นสิ่งสำคัญคือแนวที่ลากจากทิศเหนือไปทิศใต้ผ่านทรงกลมท้องฟ้าผ่านจุดจอมฟ้า เราจะเรียกว่าเส้นเมอริเดียนของคุณ (your meridian)

            แนวทิศเหนือใต้บนทรงกลมท้องฟ้าเป็นจุดอ้างอิงที่สำคัญเกี่ยวกับเวลา โดยเราถือว่าถ้าดวงอาทิตย์อยู่ในแนวเส้นนี้ บนท้องฟ้าเราจะถือว่าเป็นเวลา 12:00 น. และการนับเวลาในระบบโซลาร์นี้ใช้ระบบอ้างอิงกับเส้นเมอริเดียนของคุณ  การแบ่งเส้นแนวตามแนวเหนือใต้ไปทางทิศตะวันออกและตะวันตกบนทรงกลมนี้ เกิดทำให้มีมุมของเวลาเกิดขึ้น  พระอาทิตย์อยู่ที่มุมของเวลาที่ใดก็เทียบกับจุดอ้างอิงของเมอริเดียนได้

มุมของเวลา (hour Angle)
            ในระบบโซลาร์ใช้ดวงอาทิตย์เป็นวัตถุบนฟากฟ้าสำหรับเทียบเวลา ดังนั้น จุดอ้างอิงของดวงอาทิตย์ เมื่อเทียบกับเส้นเมอริเดียนไปทางทิศตะวันตก ก่อให้เกิดมุมขึ้น เรียกว่ามุมเวลา (hour angle)

             การคำนวณเวลาในระบบโซลาร์ ที่ใช้พระอาทิตย์เป็นหลักนี้ ใช้เปรียบเทียบเป็นมุมเวลากับเส้นเมอริเดียนของเรา โดยใช้ระบบ 24 นาฬิกา เช่น ถ้าอยู่ตรงแนวเมอริเดียนของคุณ ก็จะบอกเวลาว่า 12:00 น. แต่ถ้าคล้อยมาทางทิศตะวันตก 3 ด้วยมุมเวลา 3 ชั่วโมง ก็จะได้ 12+3 = 15:00 น.  ดังนั้นให้นำมุมเวลาไปบวก 12 ถ้าเกิน 24 ให้นำ 24 ไปลบจะได้เวลานั้น

            ธรรมชาติเราผูกพันกับดวงอาทิตย์ และดวงอาทิตย์ทำให้เกิดกลางวันกลางคืน แบ่งเวลาออกเป็น 24 ชั่วโมง และยังแบ่งฤดูกาล เราจะเห็นได้ชัดอีกอย่างหนึ่ง คือช่วงหน้าหนาวและหน้าร้อน พระอาทิตย์ขึ้นและตก รวมถึงมีแนววิถีบนท้องฟ้าแตกต่างกัน แต่สามารถใช้ระบบมุมเวลาเข้าจับได้

ระบบเวลาแบบโซลาร์ (Solar time)

เนื่องจากจุดต่าง ๆ บนพื้นโลก จะเห็นดวงอาทิตย์แตกต่างกันและการตกเมอริเดียนของคุณในเวลา 12:00 น.
จะมีข้อแตกต่างระหว่างคนที่อยู่ที่จังหวัดอุบลราชธานี กับจังหวัดกาญจนบุรี  ดังนั้นในแต่ละประเทศ จะต้องใช้
จุดอ้างอิงระบบเวลาจุดเดียวกันและกำหนดให้เป็นเวลาราชการ เช่น ของประเทศไทย กำหนดจุดอ้างอิงที่เส้นแวง 105 องศาตะวันออก
ซึ่งอยู่แถว ๆ จังหวัดอุบลราชธานี

                                เรามีวิธีการกำหนดเวลาในระบบโซลาร์ได้หลายแบบ

เวลาตามที่เห็นจริง (Apparent) เป็นเวลาที่เห็นดวงอาทิตย์จริง ณ จุดที่สังเกตการณ์นั้น อย่างไรก็ดี ดวงอาทิตย์เคลื่อนที่ไปบนทรงกลมท้องฟ้า และโลกหมุนรอบตัวเอง ทำให้มีโอกาสคิดคำนวณคลาดเคลื่อนได้

 เวลาเฉลี่ย   เป็นการหาค่าเวลาในท้องถิ่นที่ 3 ตำแหน่ง แล้วนำมาเฉลี่ย โดยถือว่าเวลาที่ท้องถิ่นเปลี่ยนตำแหน่งได้เท่ากับ 1 องศา โดยมีค่าเท่ากับ 4 นาที

 เวลามาตรฐาน   เป็นเวลาเฉลี่ยที่คิดที่ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งบนพื้นโลก  โดยใช้เวลามาตรฐานนาฬิกา เช่น มาตรฐานกรีนิช)  และใช้อ้างอิงกับพื้นที่อื่นโดยถือว่าขอบเขตครอบคลุมไปได้ 15 ํ

คอนโวลูชัน
เมื่อมีเหตุการณ์อย่างหนึ่งเกิดขึ้นแล้วทำให้พฤติกรรมของธรรมชาติเปลี่ยนแปลงไปตามการกระทำของสิ่งที่ทำให้เกิดเหตุการณ์นั้น การกระทำร่วมกันของพฤติกรรมธรรมชาติกับสิ่งที่กระทำอย่างต่อเนื่องตามอนุกรมเวลาหรืออันดับเวลา เรียกว่า คอนโวลูชัน ปริมาณที่ได้ออกมาจากการคอนโวลูชันจะแสดงถึงการขยายและรวมกันตามอันดับเวลาของพฤติกรรมของธรรมชาติ เช่น

เมื่อทุบพื้นดินหนึ่งครั้ง พื้นดินจะกระจายคลื่นสั่นสะเทือนออกไปโดยรอบ คลื่นสั่นสะเทือนที่กระจายออกไปจะประกอบด้วยพลังงานที่ได้รับจากการทุบพื้นดินในช่วงเวลาสั้น ๆ ช่วงเวลาเดียว ผนวกกับการตอบสนองของพื้นดิน เมื่อถูกทุบจะขยายออกแล้วหดกลับแล้วขยายออกเล็กน้อยแล้วหดกลับที่เดิม พื้นดินจึงสั่นสะเทือนเป็นจังหวะ แม้ว่าจะทุบพื้นดินเพียงครั้งเดียวก็ตาม

ในกรณีที่ฝนตกลงมาบนภูเขาที่ปกคลุมด้วยป่าไม้หลายชนิด น้ำฝนบางส่วนจะไหลบ่าลงสู่ลำธาร บางส่วนจะถูกดูดซับโดยเรือนยอดของต้นไม้ บางส่วนจะซึมซาบที่ผิวดินและซึมซาบลงสู่ดินระดับลึกถึงระดับน้ำใต้ดิน การตอบสนองของพื้นที่ภูเขาต่อน้ำฝนซึ่งเป็นปริมาณกระตุ้นเป็นปรากฏการณ์ธรรมชาติที่แสดงพฤติกรรมออกมาเป็นน้ำไหลในลำธาร ปริมาณน้ำฝนจำแนกได้ตามปริมาณมากหรือน้อย และจำแนกได้ตามเวลาช้าหรือเร็ว จึงเขียนคอนโวลูชันของการตอบสนองของพื้นที่ภูเขา ซึ่งประกอบด้วยการคูณกันของพฤติกรรมตอบสนอง (Response Behaviour) ของพื้นที่ภูเขา และน้ำฝน ซี่งเป็นฟังก์ชันกระทำ (Input Function)

เนื่องจากปริมาณน้ำฝนซึ่งเป็นฟังก์ชันกระทำ จะกระทำอย่างต่อเนื่องเป็นอนุกรมเวลา จึงต้องคูณกันของแต่ละช่วงอันดับเวลาของน้ำฝนเรียงกันไปตามลำดับ จะได้ปริมาณน้ำท่าที่พื้นที่ภูเขาตอบสนองต่อน้ำฝนของแต่ละอันดับเวลา เรียงกันตามอันดับเวลาเป็นเส้นแต่ละเส้น เมื่อรวมปริมาณน้ำท่าที่แต่ละอันดับเวลาจากความสูงใต้เส้นกราฟที่อันดับเวลาเดียวกัน (เช่น ที่อันดับเวลาที่สอง ก็รวมแต่เฉพาะความสูงใต้เส้นกราฟที่ผ่านช่วงอันดับเวลาที่สองเท่านั้น) จะได้ปริมาณน้ำท่ารวม ดังภาพ 2.
ถ้าเป็นการแตกหักของชั้นหินใต้เปลือกโลก ชั้นหินจะปล่อยพลังงานศักย์ยืดหยุ่นที่เก็บไว้ก่อนเกิดการแตกหักออกมาเป็นพลังงานจลน์กระทำต่อมวลหินรอบด้าน ทำให้เปลือกโลกสั่นสะเทือน แล้วแผ่กระจายออกไปเป็นคลื่นแผ่นดินไหว

ในกรณีที่ฝนตกต่อเนื่อง แต่ไม่สามารถแบ่งออกมาเป็นอันดับเวลาแต่ละช่วง การปฏิบัติการคอนโวลูชันของพฤติกรรมตอบสนองของพื้นที่ภูเขา และปริมาณน้ำฝนที่ทำให้เกิดน้ำท่า เรียกว่า คอนโวลูชันอินทิกรัล (Convolution Integral) ดังแสดงในภาพ 3. ซึ่งมีการจัดเรียงพฤติกรรมตอบสนอง f ( t ) ที่เวลา t ตรงกันข้ามกับ i ( t ) และ Q ( t ) หมายความว่า ปริมาณน้ำฝนที่เวลา t กระทำกับพฤติกรรมตอบสนอง f ( t ) ที่เวลา t = 0 แต่ปริมาณน้ำฝนระหว่างช่วงเวลา t = t ถึง t = 0 (ตั้งแต่เริ่มต้นถึงเวลา t ) ยังคงกระทำกับกราฟน้ำท่าหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นพฤติกรรมตอบสนองของพื้นที่ภูเขา ตั้งแต่เวลา t = 0 ถึง t = t เนื่องจากปริมาณน้ำฝนที่เวลา t ยังไม่มีผลทำให้เกิดน้ำท่า ซึ่ง f( t ) = 0 ที่เวลา t = 0 นั่นคือ ปริมาณน้ำฝนที่ตกลงมาก่อนเวลา t (ตั้งแต่ t = t ถึง t = 0) เป็นปริมาณน้ำฝนที่มีอิทธิพลต่อการไหลของน้ำในลำธาร Q ( t ) ที่เวลา t = t

ปัญหาดังกล่าวค่อนข้างซับซ้อนและทำการคำนวณได้ยาก แต่มีวิธีการที่ทำให้ปัญหาง่ายขึ้นโดยการเลือกใช้ค่าเฉพาะช่วงอันดับเวลา (Discrete Value at each series of time) ของพฤติกรรมตอบสนอง เช่น ปริมาณน้ำท่าเพิ่มขึ้นอย่างมาก แล้วลดลงในอันดับเวลาต่อไป ตามลำดับ (4, 2, 1) เมื่อมีน้ำฝนเป็นฟังก์ชันกระทำอย่างต่อเนื่อง แต่จัดอันดับเวลาได้ เป็น (1, 1, 1, 2, 2, 2) ตามลำดับ

สมมุติว่า อันดับเวลาที่ต่อเนื่องช่วงละ 30 นาที เมื่อทำการคอนโวลูชันแล้ว จะมีปริมาณน้ำท่าในลำธารตามแต่ละอันดับเวลาเท่าไร การจัดเรียงพฤติกรรมตอบสนองต้องเริ่มที่เวลาเริ่มต้นของค่าพฤติกรรมตอบสนองให้ตรงกับปริมาณเริ่มต้นของฟังก์ชันกระทำ และต้องจัดเรียงค่าพฤติกรรมตอบสนองในทิศทางตรงกันข้ามกับฟังก์ชันกระทำ

เนื่องจากในช่วงอันดับเวลาแรกที่ฝนเริ่มตก ฟังก์ชันกระทำอันดับเวลาแรกจะกระทำที่อันดับเวลาเดียวกันกับพฤติกรรมตอบสนองตัวแรกเทานั้นจะได้ (4 x 1) เมื่อเวลาผ่านไปอีกอันดับเวลา จึงมีการกระทำของฟังก์ชันกระทำที่อันดับเวลาแรกกระทำต่อพฤติกรรมตอบสนองที่อันดับเวลาที่สองเป็น (2 x 1) ร่วมกับการกระทำของฟังก์ชันกระทำที่อันดับเวลาที่สอง กระทำต่อพฤติกรรมตอบสนองที่อันดับเวลาแรกเป็น (4 x 1) ในขณะที่พฤติกรรมตอบสนองที่อันดับเวลาที่สามยังไม่ถูกกระทำ จึงได้ (1 x 0) เมื่อรวมปริมาณน้ำที่อันดับเวลาที่สอง จะได้ (1 x 0) + (2 x 1) + (4 x 1) = 6 ดังแสดงในภาพ 4. เมื่อเวลาผ่านไป 6 ช่วงอันดับเวลา ฝนหยุดกระทำ แต่พฤติกรรมธรรมชาติของพื้นที่ภูเขายังคงตอบสนอง โดยการระบายน้ำออกมาสู่ลำธารเรื่อย ๆ จนกระทั่งหยุดระบายที่อันดับเวลาที่ 8 ปริมาณน้ำท่าสูงสุดที่ไหลในลำธารอยู่ที่อันดับเวลาที่ 6

การคอนโวลูชันสามารถนำมาประยุกต์กับปรากฏการณ์ธรรมชาติหลายรูปแบบ แม้แต่สัญญาณคลื่นรบกวนที่กระทำรวมกันไปกับสัญญาณข้อมูลที่ต้องการ การคอนโวลูชันพฤติกรรมของตลาดหุ้นและกระแสเศรษฐกิจเช่นกันก็สามารถประยุกต์ได้ 

คาบย้อนพินิจ (Return Period)

คาบย้อนพินิจ คือช่วงเวลาเฉลี่ยที่คาดว่าจะเกิดเหตุการณ์ผิดปกติซ้ำอีกครั้งหนึ่ง เช่น การเกิดอุทกภัย การเกิดความแห้งแล้ง การเกิดแผ่นดินถล่ม เป็นต้น

สมมุติว่า ในช่วงเวลา 50 ปีที่ผ่านมา ภาคใต้ของประเทศไทยประสบอุทกภัยที่มีความรุนแรงระดับภัยพิบัติ จำนวน 5 ครั้ง แสดงว่าในแต่ละปีจะมีโอกาสเกิดอุทกภัยอย่างรุนแรง เพียง 0.1 หรือประมาณร้อยละ 10 หรือ 10 ปีจะมีโอกาสเกิดขึ้นหนึ่งครั้ง

P(Flood) = 5/50 = 0.1

คาบย้อนพินิจซึ่งเป็นช่วงเวลาเฉลี่ยที่เหตุการณ์จะอุบัติซ้ำมีค่าเท่ากับ 10 ปี ดังนั้นคาบย้อนพินิจจึงเป็นส่วนกลับของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะอุบัติซ้ำ 

T(Flood)  =  50/5 = 10 ปี
 =  1/P(Flood) 

กรณีที่ไม่เกิดอุทกภัยในช่วงเวลา 1 ปี ค่าของโอกาสที่ไม่เกิดอุทกภัยในช่วงเวลา 1 ปี คือ
P (No Flood)  =  1- P (Flood)
 =  1- 1/T (Flood) 

ถ้าไม่เกิดอุทกภัยในช่วงเวลา n ปี ค่าของโอกาสที่จะไม่เกิดอุทกภัยในช่วงเวลา n ปี คือ
P (No Flood n years)  =  P1 (No Flood) P2 (No Flood) . . . Pn (No Flood)
 =  P (No Flood) n
 =  1- [1 / T (Flood)] 

การเขียนความสัมพันธ์ของโอกาสที่น่าจะไม่เกิดเหตุการณ์ เช่น อุทกภัยได้เช่นนี้ต้องมีข้อกำหนดที่สำคัญมากประการหนึ่ง คือ การไม่เกิดอุทกภัยนั้นเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระไม่ขึ้นกับเหตุการณ์อื่น

ดังนั้น โอกาสเสี่ยงที่จะเกิดเหตุการณ์ (Risk of Occurrence) จะต้องเป็นส่วนหนึ่งร่วมกับโอกาสที่น่าจะไม่เกิดเหตุการณ์ 

R (Risk n years)  =  1 – P (No Occur n years)
 =  1- [1 – 1 / T(Recurrence)] n 

ค่าของโอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ในช่วงเวลาที่คาดคะเนไว้ และค่าของคาบย้อนพินิจเพื่อใช้ในการคำนวณสำหรับออกแบบช่วงเวลาปลอดภัยจากการเสี่ยงต่อเหตุการณ์จากพิบัติภัยธรรมชาติ

ตัวอย่างการออกแบบโดยใช้ช่วงเวลาคาบย้อนพินิจของวิศวกรทางหลวงที่ต้องการออกแบบขนาดช่องทางระบายน้ำจากลำธารลอดใต้ทางหลวง โดยต้องการให้มีโอกาสเสี่ยงจากการระบายน้ำไม่ทันเพียง 10% ก่อนที่จะมีการเปลี่ยนแปลงขนาดทางหลวงอีกครั้งหนึ่งในช่วงเวลาอีก 5 ปี 

R (Risk n years)  =  1 – (1 / T(recurrence))
R (Risk 5 years)  =  1 – (1 – 1/ T)5
0.1  =  1 – (1 – 1/ T)5
T  =  48.1 ปี 

คาบย้อนพินิจ หมายความว่า ถ้าจะไม่ยอมให้เกิดความเสี่ยงจากน้ำหลากเกินกว่าขนาดของช่องทางระบายน้ำในช่วงเวลา 5 ปี วิศวกรทางหลวงต้องออกแบบขนาดของช่องทางระบายน้ำให้มีขนาดใหญ่เพียงพอที่รองรับปริมาณน้ำหลากที่จะอุบัติขึ้นมาเพียงครั้งเดียวในช่วงเวลา 48.1 ปี